О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 

Бойков Илья Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: boikov@pnzgu.ru
Рязанцев Владимир Андреевич, кандидат технических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: math@pnzgu.ru 

519.633 

DOI

10.21685/2072-3040-2019-3-4 

Актуальность и цели. Уравнения в частных производных гиперболического типа занимают одно из центральных мест в задачах математического моделирования различных процессов и явлений физики и техники. В частности, гиперболические уравнения широко применяются в таких областях, как акустика, теория упругости, аэро- и электродинамика. В настоящее время теория обратных и некорректных задач для уравнений математической физики, интенсивно развиваясь, находит все более широкое применение в самых различных прикладных областях. Вместе с тем имеется большая практическая потребность в дальнейшей разработке точных и устойчивых численных методов, позволяющих эффективно решать различные типы обратных задач. Целью данной работы является построение упомянутых методов решения одного класса коэффициентных обратных задач для простейших гиперболических уравнений, а именно волновых уравнений.
Материалы и методы. Построение алгоритмов решения обратных начальных и граничных коэффициентных задач для одно- и двухмерного волнового уравнения основывается на применении непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах. Важной особенностью этого метода является то, что его реализация не предполагает построения обратного оператора. В основе метода лежит замена исходного нелинейного операторного уравнения на дифференциальное уравнение специального вида и его последующее приближенное решение с использованием методов теории устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Результаты. Исследована проблема численного решения обратных коэффициентных задач для одно- и двухмерного волнового уравнения. Рассмотрена как задача Коши, так и начально-краевая задача для волнового уравнения. В результате предложены алгоритмы численного решения указанных задач. Решение модельных примеров продемонстрировало эффективность предложенных алгоритмов.
Выводы. На основе непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений разработаны отличающиеся простотой и эффективностью алгоритмы численного решения обратных коэффициентных задач для волнового уравнения. 

Ключевые слова

волновое уравнение, обратные коэффициентные задачи, непрерывный операторный метод, логарифмическая норма 

 Скачать статью в формате PDF

1. Романов, В. Г. Обратные задачи математической физики / В. Г. Романов. – Москва : Наука, 1984. – 264 с.
2. Hasanov Hasanoğlu, A. Introduction to inverse problems for differential equations / A. Hasanov Hasanoğlu, V. G. Romanov. – Cham : Springer International Publishing AG, 2017. – 261 p.
3. Лаврентьев, М. М. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений / М. М. Лаврентьев, В. Г. Васильев, В. Г. Романов. – Новосибирск : Наука, Новосибирское отделение, 1969. – 68 с.
4. Кабанихин, С. И. Обратные и некорректные задачи / С. И. Кабанихин. – Новосибирск : Сибирское научное издательство, 2009. – 457 с.
5. Бойков, И. В. Об одном приближенном методе определения коэффициента теплопроводности / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Журнал Средневолжского математического общества. – 2019. – Т. 21, № 2. – С. 149–163.
6. Бойков, И. В. Об одном непрерывном методе решения нелинейных операторных уравнений / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т. 48, № 9. – С. 1308–1314.
7. Полянин, А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. – Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 576 с.